第89章 白发魔的特权

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柯西不等式表明，对于任意的实数 \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) 和 \( y_1, y_2, \ldots, y_n \)，我们有

\[ (x_12 + x_22 + \cdots + x_n2)(y_12 + y_22 + \cdots + y_n2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n)2 \]

2. 选择合适的 \( x_i \) 和 \( y_i \)：

用\( x_i \) 和 \( y_i \) 来表示 \( a, b, c \) 和 \( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \)。我们可以令

\[x_1 = \sqrt{a}, \quad x_2 = \sqrt{b}, \quad x_3 = \sqrt{c}, \quad y_1 = \sqrt{a}, \quad y_2 = \sqrt{b}, \quad y_3 = \sqrt{c} \]

3. 应用柯西不等式：

根据柯西不等式，我们有

\[ (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = (x_12 + x_22 + x_32)(y_12 + y_22 + y_32) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)2 \]

4. 简化右边的表达式：

将 \( x_i \) 和 \( y_i \) 的值代入，我们得到

\[ (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)2 = (\sqrt{a}\sqrt{a} + \sqrt{b}\sqrt{b} + \sqrt{c}\sqrt{c})2 = (a + b + c)2 \]

5. 得出结论：

因此，我们有

\[ (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq (a + b + c)2 \]

6. 使用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM 不等式）：

根据 AM-GM 不等式，对于任何非负实数 \( x \) 和 \( y \)，有

\[ \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \]

等号成立当且仅当 \( x = y \)。

7. 应用 AM-GM 不等式：

将 \( a + b + c \) 看作是三个数的和，应用 AM-GM 不等式，我们有

\[ \frac{(a + b + c)}{3} \geq \sqrt[3]{abc}\]

8. 得出结论：

因此，我们有

\[ (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 3\sqrt[3]{abc} \cdot 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = 9 \]

综上所述，我们证明了 \( (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \＝9 \)。

徐武放下粉笔，向白发魔点点头，直接回到下面第一排的位置上坐下了。

“呵呵呵，徐武同学很不错，刚才我说的随时生效，你可以选择来与不来都可以。”白发魔发出特有的笑声说道，让大家都明白徐武做对了，但这种情况每次都会发生，大家都习惯了，不像之前一样喧哗出声，只是为徐武的才华感到惊艳罢了。

“接下来我们继续上课，大家打开课本，翻到上一次讲到的内容，今天我们接着继续学习。”白发魔的话音让大家的注意力回到课本上，很有节奏的讲起了内容。

后面的课就是平平淡淡了，除了外语课上欧阳娜娜的一场问答，其他的课程都是老样子。徐武感到很无聊，灵识又回到自己身体内部查看了起来，希望早点弄清楚自己的身体情况。

只是事与愿违，一直到今天结束，徐武也没找到任何信息，只得作罢了。